MÒDULO 12 Actividad integradora 6. Aplicación de leyes eléctricas
Lee
los planteamientos y responde las preguntas:
1.
Supongamos que tienes un calentador eléctrico en tu casa con capacidad de 110
litros de agua que funciona con una corriente de 20 A para 140 V. El calentador
puede calentar el agua desde 15 °C a 50 °C en 1 hora 36 minutos. Supongamos que
tu familia está compuesta por cuatro personas y usa aproximadamente 220 litros
de agua caliente para bañarse para bañarse a diario, con un costo de $2.80 por
kilovatio/hora.
1.1.
¿Cuál es la potencia eléctrica del calentador en kW
La
potencia eléctrica del calentador se puede calcular utilizando la ley de Ohm,
que establece que la potencia es igual al producto de la corriente y el
voltaje:
Potencia
= Corriente x Voltaje
En
este caso, la corriente es de 20 A y el voltaje es de 140 V, por lo tanto:
Potencia
= 20 A x 140 V = 2800 W
Para
expresar la potencia en kilovatios (kW), se divide entre 1000:
Potencia
en kW = 2800 W / 1000 = 2.8 kW
Por
lo tanto, la potencia eléctrica del calentador es de 2.8 kW.
1.2.
¿Cuál es la energía que gasta el calentador en media hora (escribe el resultado
en kW∙h)?
Para
calcular la energía que consume el calentador en media hora, es necesario
conocer la potencia y el tiempo de uso.
La
potencia del calentador es de 2.8 kW, y el tiempo de uso en media hora es de
0.5 horas. Por lo tanto, la energía consumida es:
Energía
= Potencia x Tiempo
Energía
= 2.8 kW x 0.5 horas = 1.4 kW·h
Por
lo tanto, el calentador consume 1.4 kilovatios hora de energía en media hora.
Considera
que la potencia es la energía utilizada por unidad de tiempo, es decir
P =E/t ; donde, si la potencia se mide en kW y
el tiempo en horas, entonces la energía se medirá en kW∙ h.
1.3.
Grafica el resultado de la energía que gasta el calentador y explícala.
Para
graficar la energía que consume el calentador en función del tiempo, es
necesario conocer el consumo en diferentes intervalos de tiempo. Si se asume
que el consumo es constante durante el tiempo de uso, entonces la gráfica sería
una línea recta con una pendiente igual a la potencia del calentador (2.8 kW) y
una ordenada en el origen igual a cero, ya que el consumo de energía es cero
cuando el calentador no está en uso.
Por
ejemplo, si se grafica el consumo en función del tiempo para intervalos de 30
minutos, la gráfica sería la siguiente:
Gráfica
de consumo de energía del calentador eléctrico en función del tiempo
La
línea recta que representa el consumo tiene una pendiente de 2.8 kW y pasa por
el origen (0,0). Cada punto en la gráfica representa la energía consumida
durante un intervalo de 30 minutos.
La explicación de la gráfica es que el
consumo de energía del calentador eléctrico es constante mientras está en uso,
y se puede calcular multiplicando la potencia por el tiempo de uso. En este
caso, el consumo es de 1.4 kW·h en un intervalo de tiempo de 30 minutos, y se puede seguir
graficando para intervalos de tiempo más largos. En general, cuanto más tiempo
se use el calentador, mayor será el consumo de energía.
1.4.
Con el resultado del gasto de energía obtenido, calcula el costo que paga tu
familia diariamente por bañarse, considerando que gastan 220 litros de agua;
para ello:
1.4.1.
Calcula el costo de dejar el calentador funcionando a su capacidad máxima por
una hora.
El
costo de dejar el calentador funcionando a su capacidad máxima por una hora se
puede calcular utilizando la fórmula:
Costo
= Potencia x Tiempo x Costo por kilovatio/hora
En
este caso, la potencia del calentador es de 2.8 kW, el tiempo de uso es de una
hora, y el costo por kilovatio/hora es de $2.80. Por lo tanto, el costo es:
Costo
= 2.8 kW x 1 hora x $2.80/kW·h = $7.84
Por lo tanto, dejar el calentador
funcionando a su capacidad máxima por una hora tiene un costo de $7.84.
1.4.2.
Calcula cuánto pagan por calentar de 15 °C a 50 °C 220 litros de agua caliente.
Para
calcular el costo de calentar 220 litros de agua de 15 °C a 50 °C, es necesario
conocer la cantidad de energía requerida para elevar la temperatura del agua y
el costo de esa energía.
La
cantidad de energía requerida se puede calcular utilizando la fórmula:
Energía = masa x calor específico x
cambio de temperatura
donde
la masa es la cantidad de agua (220 litros), el calor específico del agua es
4.18 J/g·°C, y el cambio de temperatura es 50 °C - 15 °C = 35 °C. Convertir los
litros a gramos (1 litro de agua pesa 1 kg o 1000 g):
masa
= 220 litros x 1000 g/litro = 220,000 g
Por
lo tanto, la cantidad de energía requerida es:
Energía = 220,000 g x 4.18 J/g·°C x 35
°C = 33,407,000 J = 9.28 kW·h
El
costo de esa energía se puede calcular multiplicando la energía por el costo
por kilovatio/hora:
Costo = 9.28 kW·h x $2.80/kW·h = $25.98
Por
lo tanto, calentar 220 litros de agua de 15 °C a 50 °C tiene un costo de
$25.98.
1.5.
Si la resistencia del calentador se averiara, ¿qué valor deberá tener la
resistencia para que funcione con una capacidad de 220 litros?
Para
calcular el valor de la resistencia del calentador si la resistencia original
se averiara, es necesario utilizar la ley de Ohm, que establece que la
corriente eléctrica que fluye a través de un conductor es directamente
proporcional al voltaje aplicado e inversamente proporcional a la resistencia
del conductor. La fórmula de la ley de Ohm es:
I = V/R
donde I es la corriente eléctrica en
amperios (A), V es el voltaje en voltios (V), y R es la resistencia en ohmios
(Ω).
En
este caso, la corriente eléctrica es de 20 A, el voltaje es de 140 V, y la
resistencia original es desconocida. Si se desea que el calentador funcione con
una capacidad de 220 litros, se asume que se necesita la misma cantidad de
energía que en el caso anterior, es decir, 9.28 kW·h. Entonces, se puede
calcular la potencia necesaria para obtener esa energía en una hora y 36
minutos:
Potencia = Energía / Tiempo = 9.28 kW·h
/ 1.6 horas = 5.8 kW
Una
vez que se conoce la potencia necesaria, se puede calcular la resistencia
requerida utilizando la ley de Ohm:
R = V / I = 140 V / 20 A = 7 Ω
Por
lo tanto, si la resistencia original del calentador se averiara y se quisiera
que el calentador funcione con una capacidad de 220 litros, la resistencia debería
tener un valor de 7 Ω. Cabe señalar que este es un cálculo teórico y que en la
práctica, la resistencia real podría tener un valor diferente debido a factores
como la eficiencia del calentador y la resistencia interna de los cables.
Además, es importante tener en cuenta que modificar la resistencia de un
calentador eléctrico puede ser peligroso y debe hacerse únicamente por un
técnico especializado.
2.
Ahora, supongamos que tienes un calentador eléctrico con forma de cilindro
circular recto, con un radio de 26.5 cm y un alto de 50 cm, que cuenta con
capacidad de 110 litros de agua.
2.1.
Calcula la presión hidrostática en el fondo del calentador eléctrico cuando
éste se encuentra lleno de agua. Anota tu resultado en kPa.
La
presión hidrostática en el fondo del calentador eléctrico cuando está lleno de
agua se puede calcular utilizando la ecuación de la presión hidrostática:
P
= ρgh
donde
P es la presión hidrostática en pascales (Pa), ρ es la densidad del agua en
kg/m³, g es la aceleración debida a la gravedad (9.81 m/s²) y h es la altura
del agua sobre el punto donde se mide la presión.
Para
calcular la densidad del agua, se puede utilizar el valor estándar de 1000
kg/m³.
La
altura del agua en el calentador será igual al volumen de agua dividido entre
la sección transversal del cilindro:
h
= V / A = V / (πr²)
donde
V es el volumen de agua en metros cúbicos (m³), A es la sección transversal del
cilindro en metros cuadrados (m²) y r es el radio del cilindro en metros (m).
El
volumen de agua que cabe en el calentador es de 110 litros, lo que equivale a
0.11 m³. La sección transversal del cilindro se puede calcular como πr², donde
r es el radio del cilindro en metros. En este caso, el radio es de 26.5 cm, lo
que equivale a 0.265 metros. Por lo tanto, la sección transversal es:
A
= π(0.265 m)² = 0.220 m²
Sustituyendo
los valores en la ecuación de la presión hidrostática:
P = (1000
kg/m³)(9.81 m/s²)(0.11 m) / 0.220 m² ≈ 4,915 Pa ≈ 4.92 kPa
Por
lo tanto, la presión hidrostática en el fondo del calentador eléctrico cuando
está lleno de agua es de aproximadamente 4.92 kPa.
2.2.
El regulador de temperatura del calentador de agua dejó de funcionar, por lo
que el agua en el interior de éste se evaporó totalmente, lo que provocó que el
calentador se llene de vapor. El calentador contenía agua líquida hasta la
mitad, antes de que comenzara a funcionar. Entonces ¿cuál será la densidad del
vapor al interior del calentador? Considera que 1 litro de agua tiene masa
igual a 1 kg.
Para
determinar la densidad del vapor al interior del calentador, necesitamos
conocer la presión y la temperatura del vapor en su interior.
Si
el calentador se llenó completamente de vapor, entonces podemos asumir que la
presión interna del vapor es igual a la presión atmosférica al nivel del mar,
que es de aproximadamente 101.3 kPa.
Para
obtener la temperatura del vapor, podemos utilizar la ley de gas ideal, que
establece que la presión, el volumen y la temperatura de un gas están
relacionados por la ecuación PV = nRT, donde P es la presión en pascales, V es
el volumen en metros cúbicos, n es la cantidad de sustancia en moles, R es la
constante de los gases ideales (8.314 J/(mol·K)) y T es la temperatura en
Kelvin.
En
este caso, podemos asumir que la cantidad de sustancia de vapor es la misma que
la de agua líquida que originalmente contenía el calentador (55 litros, o 0.055
m³), ya que todo el agua se evaporó. Además, podemos asumir que el volumen del
calentador no cambió significativamente durante la evaporación del agua, por lo
que el volumen del vapor es igual al volumen original del agua líquida, es decir,
0.055 m³.
La
ecuación se puede despejar para obtener la temperatura del vapor:
T = PV / (nR)
Sustituyendo
los valores:
T
= (101.3 kPa)(0.055 m³) / [(55 kg)/(1000 g/kg)·(8.314 J/(mol·K))] ≈ 422 K
Por
lo tanto, la temperatura del vapor al interior del calentador es de
aproximadamente 422 K (149 °C).
La
densidad del vapor se puede calcular utilizando la ecuación de estado del gas
ideal, que establece que la densidad (ρ) de un gas está relacionada con la
presión (P), la temperatura (T) y la masa molecular (M) del gas por la ecuación
ρ = PM/(RT).
La
masa molecular del vapor se puede calcular utilizando la masa molecular del
agua (18.015 g/mol) y la ecuación PV = nRT:
n
= PV / RT = (101.3 kPa)(0.055 m³) / [(8.314 J/(mol·K))(422 K)] ≈ 0.045 mol
M
= m/n = (55 kg)/(0.045 mol) ≈ 1222 g/mol
Sustituyendo
los valores:
ρ
= (101.3 kPa)(1222 g/mol) / [(8.314 J/(mol·K))(422 K)] ≈ 2.97 kg/m³
Por
lo tanto, la densidad del vapor al interior del calentador es de aproximadamente
2.97 kg/m³.
Analiza
y responde:
3.1
¿Qué ley se aplica en el funcionamiento del calentador y por qué?
El
funcionamiento del calentador eléctrico se rige por la ley de Joule, también
conocida como ley de calentamiento de Joule. Esta ley establece que la energía
eléctrica que circula por un conductor eléctrico se convierte en calor, y la
cantidad de calor generado es proporcional al cuadrado de la corriente
eléctrica y al tiempo que ésta circula por el conductor. En el caso del
calentador eléctrico, la corriente eléctrica circula a través de la resistencia
del calentador, que se calienta y transfiere ese calor al agua que lo rodea.
Por lo tanto, la ley de Joule es la que explica cómo la energía eléctrica se
convierte en energía térmica en el calentador eléctrico.
3.2
¿Qué ley se aplicó para reparar el calentador y por qué?
No
se especifica qué ley se aplicó para reparar el calentador en la pregunta. Sin
embargo, generalmente la reparación de un calentador eléctrico implica la
identificación y solución de problemas eléctricos y mecánicos. La solución de
problemas eléctricos a menudo se basa en la aplicación de las leyes de la
electricidad, como la ley de Ohm y la ley de Kirchhoff. Por otro lado, la
solución de problemas mecánicos puede basarse en la aplicación de leyes físicas
como la ley de la termodinámica o las leyes de la mecánica de fluidos. En
general, la solución de problemas para reparar un calentador eléctrico puede
requerir la aplicación de diferentes leyes físicas y matemáticas según las
circunstancias específicas de la avería.
