MÒDULO 12 SEMANA 2 ACTIVIDAD INTEGRADORA 3 MAYO 2023

Lee el siguiente planteamiento y resuelve los problemas:

Un globo electrostáticamente cargado ejerce una fuerza de atracción sobre un papel de tal forma que se pueden identificar dos cargas positivas en la periferia del globo y una negativa en la periferia del papel. Las cargas del globo y del papel están colocadas en los vértices de un triángulo isósceles cuyos lados iguales (la distancia de q1 a q3 y la distancia de q1 a q2) tienen una longitud de 5.2 cm, tal como se muestra en la figura. Se sabe que la carga q₁ tiene polaridad negativa con un valor de 15 μC (microcoulomb), la carga q₂ tiene polaridad positiva con una magnitud de 10 μC y la carga q₃ también tiene polaridad positiva con una intensidad de 30 μC y el ángulo del vértice del triángulo formado donde se encuentra la carga q₁ es de 50°.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTRODUCCIÒN

 

Para resolver los problemas, primero debemos calcular la magnitud y dirección de la fuerza electrostática que ejerce la carga q1 sobre las otras dos cargas, utilizando la ley de Coulomb:

F = k * |q1| * |q2| / r^2

donde k es la constante de Coulomb, r es la distancia entre las cargas y |q1| y |q2| son las magnitudes de las cargas. En este caso, podemos usar la carga q1 como fuente de referencia y calcular la fuerza que ejerce sobre la carga q2 y la carga q3. Luego, podemos utilizar la ley de acción y reacción para encontrar la fuerza que las cargas q2 y q3 ejercen sobre la carga q1.

1. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica que la carga q1 ejerce sobre la carga q2? Primero, calculemos la distancia r entre las cargas q1 y q2. Dado que el triángulo es isósceles, podemos utilizar trigonometría para encontrar la altura h del triángulo y luego la distancia r a través de la relación trigonométrica sen(50°) = h/r:

h = r * sen(50°)

r = h / sen(50°) = 6.56 cm

Entonces, podemos calcular la fuerza eléctrica entre q1 y q2:

F = k * |q1| * |q2| / r^2

F = 8.99 * 10^9 N * m^2 / C^2 * 15 * 10^-6 C * 10 * 10^-6 C / (6.56 * 10^-2 m)^2

F = 1.34 * 10^-2 N

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza eléctrica que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 es de 1.34 * 10^-2 N.

2. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica que la carga q1 ejerce sobre la carga q3? Utilizando el mismo método que en el primer problema, podemos calcular la distancia r entre las cargas q1 y q3:

r = h / sen(50°) = 6.56 cm

Entonces, podemos calcular la fuerza eléctrica entre q1 y q3:

F = k * |q1| * |q3| / r^2

F = 8.99 * 10^9 N * m^2 / C^2 * 15 * 10^-6 C * 30 * 10^-6 C / (6.56 * 10^-2 m)^2

F = 4.81 * 10^-2 N

La magnitud de la fuerza eléctrica es de 4.81 * 10^-2 N. Para determinar la dirección de la fuerza, podemos observar que la carga q3 está ubicada a la izquierda de la carga q1, por lo que la fuerza eléctrica será dirigida hacia la carga q3. Dado que la carga q1 es negativa y la carga q3 es positiva, la dirección de la fuerza será hacia la carga q3.

 

ENTONCES ….

 

 

 

 

 

 

1. Calcula la fuerza de q₃ sobre q₁. Para ello, hay que sustituir los valores de las respectivas cargas en la ecuación de la ley de Coulomb y el valor de la distancia d , la cual corresponde a la separación entre q₁ y q₃.

Podemos calcular la fuerza eléctrica que la carga q3 ejerce sobre la carga q1 utilizando la ley de Coulomb:

 

F = k * |q1| * |q3| / d^2

 

donde k es la constante de Coulomb, |q1| y |q3| son las magnitudes de las cargas y d es la distancia entre ellas. Para encontrar la distancia d, podemos utilizar la geometría del triángulo isósceles y la ley del coseno:

 

d^2 = 5.2^2 + 5.2^2 - 2 * 5.2 * 5.2 * cos(50°)

 

d^2 = 37.34

 

d = 6.11 cm

 

Sustituyendo los valores de las cargas y la distancia en la ecuación de la ley de Coulomb, obtenemos:

 

F = 8.99 * 10^9 N * m^2 / C^2 * 15 * 10^-6 C * 30 * 10^-6 C / (6.11 * 10^-2 m)^2

 

F = 2.69 * 10^-2 N

 

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza eléctrica que la carga q3 ejerce sobre la carga q1 es de 2.69 * 10^-2 N. La dirección de la fuerza será hacia la carga q3, dado que la carga q1 es negativa y la carga q3 es positiva.

2. Realiza el cálculo de la fuerza de q₂ sobre q₁.

Podemos calcular la fuerza eléctrica que la carga q2 ejerce sobre la carga q1 utilizando la ley de Coulomb:

 

F = k * |q1| * |q2| / d^2

 

donde k es la constante de Coulomb, |q1| y |q2| son las magnitudes de las cargas y d es la distancia entre ellas. Para encontrar la distancia d, podemos utilizar la geometría del triángulo isósceles y la ley del coseno:

 

d^2 = 5.2^2 + 5.2^2 - 2 * 5.2 * 5.2 * cos(50°)

 

d^2 = 37.34

 

d = 6.11 cm

 

Sustituyendo los valores de las cargas y la distancia en la ecuación de la ley de Coulomb, obtenemos:

 

F = 8.99 * 10^9 N * m^2 / C^2 * 15 * 10^-6 C * 10 * 10^-6 C / (6.11 * 10^-2 m)^2

 

F = 1.79 * 10^-2 N

 

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza eléctrica que la carga q2 ejerce sobre la carga q1 es de 1.79 * 10^-2 N. La dirección de la fuerza será hacia la carga q2, dado que la carga q1 es negativa y la carga q2 es positiva.

a.    Utiliza el plano cartesiano para graficar los resultados de las fuerzas solicitadas.

Para graficar las fuerzas en un plano cartesiano, podemos utilizar vectores que representen las fuerzas y colocarlos en el origen del plano. La magnitud de cada vector será proporcional a la magnitud de la fuerza correspondiente y la dirección del vector indicará la dirección de la fuerza.

 

Para la fuerza de q3 sobre q1, el vector correspondiente tendría una magnitud de 2.69 * 10^-2 N y estaría en la dirección de la carga q3. Para la fuerza de q2 sobre q1, el vector tendría una magnitud de 1.79 * 10^-2 N y estaría en la dirección de la carga q2. Ambos vectores se sumarían vectorialmente para obtener la fuerza total sobre q1.

 

Aquí está el gráfico:

  ^

  |

q3|         /

  |       /

  |     /

  |   /     F_total

  | /    /

  |/    /

q1+-----+------->

  |\     \

  |  \    \

q2|    \   \

  |      \   \

  |        \   \

  |          \   \

  +-----------+--->

        q1

 

3. Determina la magnitud de la fuerza de atracción resultante que ejercen las cargas q₂ y q₃ sobre q₁ y el ángulo del vector de la resultante.

Para encontrar la fuerza resultante que ejercen las cargas q2 y q3 sobre q1, podemos sumar vectorialmente las fuerzas individuales. Podemos encontrar las componentes x e y de cada fuerza utilizando la ley de Coulomb y la geometría del triángulo isósceles:

 

Fq2,x = k * |q1| * |q2| * cos(130°) / d^2

Fq2,y = k * |q1| * |q2| * sin(130°) / d^2

 

Fq3,x = k * |q1| * |q3| * cos(40°) / d^2

Fq3,y = k * |q1| * |q3| * sin(40°) / d^2

 

Sumando las componentes correspondientes, obtenemos la fuerza resultante:

 

Fx = Fq2,x + Fq3,x

Fy = Fq2,y + Fq3,y

F     =     (Fx^2 + Fy^2)

 

Sustituyendo los valores numéricos, obtenemos:

 

Fq2,x = 6.35 * 10^-3 N

Fq2,y = -1.48 * 10^-2 N

Fq3,x = 2.17 * 10^-2 N

Fq3,y = 1.29 * 10^-2 N

 

Fx = Fq2,x + Fq3,x = 2.81 * 10^-2 N

Fy = Fq2,y + Fq3,y = -1.9 * 10^-2 N

F = sqrt(Fx^2 + Fy^2) = 3.4 * 10^-2 N

 

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza resultante que ejercen las cargas q2 y q3 sobre q1 es de 3.4 * 10^-2 N. Para encontrar el ángulo del vector de la resultante, podemos utilizar la función trigonométrica inversa:

 

θ = atan(Fy / Fx) = -34.2°

 

El ángulo del vector de la resultante es de aproximadamente -34.2°, lo que significa que el vector forma un ángulo de 34.2° con el eje positivo x, en sentido contrario a las manecillas del reloj.

a.    Utiliza el plano cartesiano para graficar el resultado, de la magnitud de la fuerza de atracción.

Para graficar el resultado de la magnitud de la fuerza de atracción, podemos utilizar un plano cartesiano con ejes x e y. En este caso, la magnitud de la fuerza resultante se representa por la longitud del vector, y el ángulo del vector se representa por la dirección del mismo. Dado que el ángulo de la resultante es de -34.2°, el vector resultante apuntará hacia abajo y hacia la izquierda en el plano cartesiano. La siguiente figura muestra la representación gráfica de la fuerza resultante:

 

Plano cartesiano con el vector resultante de la fuerza de atracción

 

El vector resultante se extiende desde el origen hasta el punto (0.0281 N, -0.019 N). La longitud del vector representa la magnitud de la fuerza resultante, que es de aproximadamente 0.034 N.

4. Menciona al menos 5 situaciones donde hayas presenciado aplicaciones de campos eléctricos y explica para qué sirven en tu vida cotidiana.

Cargas eléctricas estáticas: Al frotar dos objetos de diferentes materiales, se pueden transferir electrones de un objeto a otro, lo que resulta en una acumulación de carga eléctrica estática. Este fenómeno se utiliza en la vida cotidiana, por ejemplo, en la limpieza de ropa utilizando una secadora de ropa eléctrica, donde las cargas eléctricas estáticas se utilizan para reducir la estática en la ropa.

 

Pantallas de televisión y monitores de computadora: Los campos eléctricos se utilizan para generar imágenes en pantallas de televisión y monitores de computadora. Las cargas eléctricas en las pantallas se controlan para producir los diferentes colores y tonos que forman las imágenes que vemos en la pantalla.

 

El funcionamiento de los electrodomésticos: En muchos electrodomésticos, como las tostadoras, las planchas y las cafeteras, los campos eléctricos se utilizan para calentar las resistencias eléctricas que se encuentran en el interior de los dispositivos.

 

Iluminación: La electricidad se utiliza para iluminar hogares, calles, edificios y lugares públicos. La energía eléctrica se utiliza para generar campos eléctricos que excitan los átomos en los filamentos de las bombillas, produciendo luz.

 

Equipos de comunicación: Los campos eléctricos se utilizan en la transmisión de señales de radio y televisión, así como en la telefonía móvil y los dispositivos de comunicación inalámbricos. Las señales eléctricas se utilizan para transportar información de un lugar a otro sin la necesidad de cables.

5. Explica en un párrafo de 5 renglones por qué el cabello largo se eriza al cepillarlo.

El cabello largo se eriza al cepillarlo debido a la generación de carga eléctrica estática. Cuando se cepilla el cabello, el cepillo y el cabello se frota entre sí, lo que provoca que los electrones se transfieran de un objeto al otro. Este intercambio de electrones produce una acumulación de carga eléctrica estática en el cabello, lo que hace que los cabellos se repelan entre sí y se levanten, lo que produce el efecto de erizado. Además, la humedad del aire y del cabello pueden agravar este efecto, ya que la humedad reduce la acumulación de carga eléctrica estática en el cabello, lo que reduce la fuerza de la repulsión entre los cabellos y evita que se er

MÒDULO 17 SEMANA 1 ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

MÒDULO 17  SEMANA 1 ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Una encuesta aplicada a 500 estudiantes que cursan alguna actividad cultural reveló que 80 de ellos están inscritos al taller de música, 150 al de teatro, 170 al de danza y 100 al de pintura.

  Para calcular las probabilidades, primero se necesita determinar la cantidad total de estudiantes que están inscritos en alguna actividad cultural, la cual es la suma de los estudiantes inscritos en cada taller:

Total de estudiantes inscritos = 80 (música) + 150 (teatro) + 170 (danza) + 100 (pintura) = 500

 

Con base en el caso,  usando word calcula lo siguiente: 

Si se selecciona uno de estos estudiantes al azar:

¿Cuál es la probabilidad de que esté inscrito al taller de teatro?

1.      La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de teatro es de:

P(teatro) = Número de estudiantes inscritos en teatro / Total de estudiantes inscritos = 150 / 500 = 0.3 = 30%

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de teatro es del 30%.

 

¿Cuál es la probabilidad de que esté inscrito al taller de música o de danza?

2. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de música o de danza es la suma de las probabilidades de estar inscrito en cada uno de estos talleres:

P(música o danza) = (Número de estudiantes inscritos en música + Número de estudiantes inscritos en danza) / Total de estudiantes inscritos = (80 + 170) / 500 = 0.5 = 50%

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de música o de danza es del 50%.

 

¿Cuál es la probabilidad de que no esté inscrito al taller de pintura?

3. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar no esté inscrito en el taller de pintura es de:

P(no pintura) = Número de estudiantes no inscritos en pintura / Total de estudiantes inscritos = (500 - 100) / 500 = 0.8 = 80%

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar no esté inscrito en el taller de pintura es del 80%.

 

 

 

 

Caso 2

En una compañía que produce una gran cantidad de tuercas, se ha detectado que el 12% tienen algún defecto.  Con base  para resolver este problema, se puede modelar la selección de tuercas como un proceso de Bernoulli, donde cada tuerca puede ser "buena" o "defectuosa" con una probabilidad del 12% de ser defectuosa. Además, dado que se seleccionan piezas de manera independiente, se puede utilizar la distribución binomial para calcular las probabilidades de interés. Si se seleccionan al azar 15 piezas de manera independiente a)       ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas haya 5 defectuosas? a) Para calcular la probabilidad de que haya exactamente 5 tuercas defectuosas entre las 15 elegidas, se puede utilizar la fórmula de la distribución binomial: P(X = 5) = (15 choose 5) * (0.12)^5 * (0.88)^10 donde (15 choose 5) es el número de formas de elegir 5 elementos de un conjunto de 15 y se calcula como 15! / (5! * 10!). Evaluando esta expresión, se obtiene: P(X = 5) ≈ 0.1969 Por lo tanto, la probabilidad de que entre las 15 tuercas elegidas haya exactamente 5 defectuosas es aproximadamente 0.1969.   b)      ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas haya por lo menos 4 defectuosas? b) Para calcular la probabilidad de que haya por lo menos 4 tuercas defectuosas entre las 15 elegidas, se puede utilizar la fórmula de la distribución binomial acumulada: P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) donde P(X < 4) es la probabilidad acumulada de que haya menos de 4 tuercas defectuosas, que se puede calcular como: P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = (15 choose 0) * (0.12)^0 * (0.88)^15 + (15 choose 1) * (0.12)^1 * (0.88)^14 + (15 choose 2) * (0.12)^2 * (0.88)^13 + (15 choose 3) * (0.12)^3 * (0.88)^12 Evaluando estas expresiones, se tiene: P(X < 4) ≈ 0.4992 P(X >= 4) ≈ 1 - 0.4992 ≈ 0.5008 Por lo tanto, la probabilidad de que entre las 15 tuercas elegidas haya por lo menos 4 defectuosas es aproximadamente 0.5008.     c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas ninguna tenga defecto?

c) Para calcular la probabilidad de que ninguna de las 15 tuercas elegidas tenga defecto, se puede utilizar la fórmula de la distribución binomial:

P(X = 0) = (15 choose 0) * (0.12)^0 * (0.88)^15

Evaluando esta expresión, se tiene:

P(X = 0) ≈ 0.0681

Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna de las 15 tuercas elegidas tenga defecto es aproximadamente 0.0681.

 

NOTA

"Choose" es una palabra en inglés que significa "escoger" o "elegir". En el contexto de la probabilidad, "choose" se utiliza en la fórmula del coeficiente binomial (también conocido como número combinatorio), que es una medida de la cantidad de formas en que se pueden escoger k elementos de un conjunto de n elementos, sin importar el orden en que se seleccionen. El coeficiente binomial se representa por la notación (n choose k) y se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

(n choose k) = n! / (k! * (n - k)!)

donde "!" denota el factorial de un número, que es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta ese número. Por ejemplo, (5 choose 2) representa el número de formas en que se pueden escoger 2 elementos de un conjunto de 5 elementos, y se puede calcular como:

(5 choose 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 10

Esto significa que hay 10 formas diferentes de seleccionar 2 elementos de un conjunto de 5 elementos, sin importar el orden en que se escojan.

 

 

Caso 3

El número de llamadas por hora que recibe un despacho jurídico se puede modelar con una distribución de Poisson con un promedio de 4 llamadas por hora.  Con base en el caso, calcula lo siguiente: En una hora determinada: 1 ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 7 llamadas? Para resolver este problema, usaremos la distribución de Poisson. Dado que el promedio de llamadas por hora es de 4, podemos usar λ=4 como parámetro de la distribución. La probabilidad de que se reciban 7 llamadas en una hora determinada está dada por la función de probabilidad de Poisson: P(X=7) = (e^-λ * λ^7) / 7!, donde X es el número de llamadas en una hora determinada. Sustituyendo λ=4 y X=7 en la fórmula, obtenemos: P(X=7) = (e^-4 * 4^7) / 7! = 0.0739 Por lo tanto, la probabilidad de que se reciban exactamente 7 llamadas en una hora determinada es de 0.0739 o aproximadamente del 7.39%.   2¿Cuál es la probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas?  La probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas en una hora determinada se puede calcular sumando las probabilidades de que lleguen 0, 1, 2, 3, 4 o 5 llamadas. P(X ≤ 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) Para calcular estas probabilidades, podemos usar la fórmula de la función de probabilidad de Poisson para cada valor de X y luego sumarlos: P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k! donde k es el número de llamadas. Sustituyendo λ=4 y k=0,1,2,3,4,5 en la fórmula, tenemos: P(X=0) = (e^-4 * 4^0) / 0! = 0.0183 P(X=1) = (e^-4 * 4^1) / 1! = 0.0733 P(X=2) = (e^-4 * 4^2) / 2! = 0.1465 P(X=3) = (e^-4 * 4^3) / 3! = 0.1953 P(X=4) = (e^-4 * 4^4) / 4! = 0.1953 P(X=5) = (e^-4 * 4^5) / 5! = 0.1644 Por lo tanto, la probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas en una hora determinada es: P(X ≤ 5) = 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 + 0.1953 + 0.1953 + 0.1644 = 0.7931 Por lo tanto, la probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas es de 0.7931 o aproximadamente del 79.31%.

2. Una vez calculado lo anterior, responde lo siguiente:

a)¿Qué regla de probabilidad o tipo de distribución de probabilidad utilizaste para cada caso?

b)Justifica la elección de la regla de probabilidad o tipo de distribución de probabilidad utilizada en cada caso.

c)Argumenta en un párrafo de cinco renglones, la utilidad de la probabilidad en tu vida cotidiana.

La probabilidad es una herramienta matemática fundamental que tiene una amplia aplicación en nuestra vida cotidiana. Nos permite hacer estimaciones y tomar decisiones informadas en situaciones inciertas, como por ejemplo, planificar un viaje en función de las probabilidades climáticas, tomar decisiones financieras basadas en las posibilidades de éxito o fracaso de una inversión, evaluar el riesgo de enfermedades en función de factores de riesgo, entre otros. En definitiva, la probabilidad nos ayuda a comprender y evaluar situaciones de incertidumbre en nuestra vida diaria, lo que puede mejorar nuestra toma de decisiones y reducir la incertidumbre en nuestras vidas.

 

 

 MÒDULO 17  SEMANA 1 ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Una encuesta aplicada a 500 estudiantes que cursan alguna actividad cultural reveló que 80 de ellos están inscritos al taller de música, 150 al de teatro, 170 al de danza y 100 al de pintura.

  Para calcular las probabilidades, primero se necesita determinar la cantidad total de estudiantes que están inscritos en alguna actividad cultural, la cual es la suma de los estudiantes inscritos en cada taller:

Total de estudiantes inscritos = 80 (música) + 150 (teatro) + 170 (danza) + 100 (pintura) = 500

 

Con base en el caso,  usando word calcula lo siguiente: 

Si se selecciona uno de estos estudiantes al azar:

¿Cuál es la probabilidad de que esté inscrito al taller de teatro?

1.      La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de teatro es de:

P(teatro) = Número de estudiantes inscritos en teatro / Total de estudiantes inscritos = 150 / 500 = 0.3 = 30%

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de teatro es del 30%.

 

¿Cuál es la probabilidad de que esté inscrito al taller de música o de danza?

2. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de música o de danza es la suma de las probabilidades de estar inscrito en cada uno de estos talleres:

P(música o danza) = (Número de estudiantes inscritos en música + Número de estudiantes inscritos en danza) / Total de estudiantes inscritos = (80 + 170) / 500 = 0.5 = 50%

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de música o de danza es del 50%.

 

¿Cuál es la probabilidad de que no esté inscrito al taller de pintura?

3. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar no esté inscrito en el taller de pintura es de:

P(no pintura) = Número de estudiantes no inscritos en pintura / Total de estudiantes inscritos = (500 - 100) / 500 = 0.8 = 80%

Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar no esté inscrito en el taller de pintura es del 80%.

 

 

 

 

Caso 2

En una compañía que produce una gran cantidad de tuercas, se ha detectado que el 12% tienen algún defecto.  Con base  para resolver este problema, se puede modelar la selección de tuercas como un proceso de Bernoulli, donde cada tuerca puede ser "buena" o "defectuosa" con una probabilidad del 12% de ser defectuosa. Además, dado que se seleccionan piezas de manera independiente, se puede utilizar la distribución binomial para calcular las probabilidades de interés. Si se seleccionan al azar 15 piezas de manera independiente a)       ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas haya 5 defectuosas? a) Para calcular la probabilidad de que haya exactamente 5 tuercas defectuosas entre las 15 elegidas, se puede utilizar la fórmula de la distribución binomial: P(X = 5) = (15 choose 5) * (0.12)^5 * (0.88)^10 donde (15 choose 5) es el número de formas de elegir 5 elementos de un conjunto de 15 y se calcula como 15! / (5! * 10!). Evaluando esta expresión, se obtiene: P(X = 5) ≈ 0.1969 Por lo tanto, la probabilidad de que entre las 15 tuercas elegidas haya exactamente 5 defectuosas es aproximadamente 0.1969.   b)      ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas haya por lo menos 4 defectuosas? b) Para calcular la probabilidad de que haya por lo menos 4 tuercas defectuosas entre las 15 elegidas, se puede utilizar la fórmula de la distribución binomial acumulada: P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) donde P(X < 4) es la probabilidad acumulada de que haya menos de 4 tuercas defectuosas, que se puede calcular como: P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = (15 choose 0) * (0.12)^0 * (0.88)^15 + (15 choose 1) * (0.12)^1 * (0.88)^14 + (15 choose 2) * (0.12)^2 * (0.88)^13 + (15 choose 3) * (0.12)^3 * (0.88)^12 Evaluando estas expresiones, se tiene: P(X < 4) ≈ 0.4992 P(X >= 4) ≈ 1 - 0.4992 ≈ 0.5008 Por lo tanto, la probabilidad de que entre las 15 tuercas elegidas haya por lo menos 4 defectuosas es aproximadamente 0.5008.     c) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas ninguna tenga defecto?

c) Para calcular la probabilidad de que ninguna de las 15 tuercas elegidas tenga defecto, se puede utilizar la fórmula de la distribución binomial:

P(X = 0) = (15 choose 0) * (0.12)^0 * (0.88)^15

Evaluando esta expresión, se tiene:

P(X = 0) ≈ 0.0681

Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna de las 15 tuercas elegidas tenga defecto es aproximadamente 0.0681.

 

NOTA

"Choose" es una palabra en inglés que significa "escoger" o "elegir". En el contexto de la probabilidad, "choose" se utiliza en la fórmula del coeficiente binomial (también conocido como número combinatorio), que es una medida de la cantidad de formas en que se pueden escoger k elementos de un conjunto de n elementos, sin importar el orden en que se seleccionen. El coeficiente binomial se representa por la notación (n choose k) y se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

(n choose k) = n! / (k! * (n - k)!)

donde "!" denota el factorial de un número, que es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta ese número. Por ejemplo, (5 choose 2) representa el número de formas en que se pueden escoger 2 elementos de un conjunto de 5 elementos, y se puede calcular como:

(5 choose 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 10

Esto significa que hay 10 formas diferentes de seleccionar 2 elementos de un conjunto de 5 elementos, sin importar el orden en que se escojan.

 

 

Caso 3

El número de llamadas por hora que recibe un despacho jurídico se puede modelar con una distribución de Poisson con un promedio de 4 llamadas por hora.  Con base en el caso, calcula lo siguiente: En una hora determinada: 1 ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban 7 llamadas? Para resolver este problema, usaremos la distribución de Poisson. Dado que el promedio de llamadas por hora es de 4, podemos usar λ=4 como parámetro de la distribución. La probabilidad de que se reciban 7 llamadas en una hora determinada está dada por la función de probabilidad de Poisson: P(X=7) = (e^-λ * λ^7) / 7!, donde X es el número de llamadas en una hora determinada. Sustituyendo λ=4 y X=7 en la fórmula, obtenemos: P(X=7) = (e^-4 * 4^7) / 7! = 0.0739 Por lo tanto, la probabilidad de que se reciban exactamente 7 llamadas en una hora determinada es de 0.0739 o aproximadamente del 7.39%.   2¿Cuál es la probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas?  La probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas en una hora determinada se puede calcular sumando las probabilidades de que lleguen 0, 1, 2, 3, 4 o 5 llamadas. P(X ≤ 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) Para calcular estas probabilidades, podemos usar la fórmula de la función de probabilidad de Poisson para cada valor de X y luego sumarlos: P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k! donde k es el número de llamadas. Sustituyendo λ=4 y k=0,1,2,3,4,5 en la fórmula, tenemos: P(X=0) = (e^-4 * 4^0) / 0! = 0.0183 P(X=1) = (e^-4 * 4^1) / 1! = 0.0733 P(X=2) = (e^-4 * 4^2) / 2! = 0.1465 P(X=3) = (e^-4 * 4^3) / 3! = 0.1953 P(X=4) = (e^-4 * 4^4) / 4! = 0.1953 P(X=5) = (e^-4 * 4^5) / 5! = 0.1644 Por lo tanto, la probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas en una hora determinada es: P(X ≤ 5) = 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 + 0.1953 + 0.1953 + 0.1644 = 0.7931 Por lo tanto, la probabilidad de que lleguen a lo más 5 llamadas es de 0.7931 o aproximadamente del 79.31%.

2. Una vez calculado lo anterior, responde lo siguiente:

a)¿Qué regla de probabilidad o tipo de distribución de probabilidad utilizaste para cada caso?

b)Justifica la elección de la regla de probabilidad o tipo de distribución de probabilidad utilizada en cada caso.

c)Argumenta en un párrafo de cinco renglones, la utilidad de la probabilidad en tu vida cotidiana.

La probabilidad es una herramienta matemática fundamental que tiene una amplia aplicación en nuestra vida cotidiana. Nos permite hacer estimaciones y tomar decisiones informadas en situaciones inciertas, como por ejemplo, planificar un viaje en función de las probabilidades climáticas, tomar decisiones financieras basadas en las posibilidades de éxito o fracaso de una inversión, evaluar el riesgo de enfermedades en función de factores de riesgo, entre otros. En definitiva, la probabilidad nos ayuda a comprender y evaluar situaciones de incertidumbre en nuestra vida diaria, lo que puede mejorar nuestra toma de decisiones y reducir la incertidumbre en nuestras vidas.