MÒDULO
17 SEMANA 1 ACTIVIDAD INTEGRADORA 1
Una encuesta aplicada a 500 estudiantes que cursan alguna
actividad cultural reveló que 80 de ellos están inscritos al taller de música,
150 al de teatro, 170 al de danza y 100 al de pintura.
Para calcular las probabilidades, primero se necesita
determinar la cantidad total de estudiantes que están inscritos en alguna
actividad cultural, la cual es la suma de los estudiantes inscritos en cada
taller:
Total de estudiantes inscritos = 80
(música) + 150 (teatro) + 170 (danza) + 100 (pintura) = 500
Con base en el caso,
usando EXCEL calcula lo siguiente:
Si se selecciona uno de estos estudiantes al azar:
¿Cuál es la probabilidad
de que esté inscrito al taller de teatro?
1. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté
inscrito en el taller de teatro es de:
P(teatro)
= Número de estudiantes inscritos en teatro / Total de estudiantes inscritos =
150 / 500 = 0.3 = 30%
Por
lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté
inscrito en el taller de teatro es del 30%.
¿Cuál es la probabilidad
de que esté inscrito al taller de música o de danza?
- La probabilidad de que un
estudiante seleccionado al azar esté inscrito en el taller de música o de
danza es la suma de las probabilidades de estar inscrito en cada uno de
estos talleres:
P(música
o danza) = (Número de estudiantes inscritos en música + Número de estudiantes
inscritos en danza) / Total de estudiantes inscritos = (80 + 170) / 500 = 0.5 =
50%
Por
lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar esté
inscrito en el taller de música o de danza es del 50%.
¿Cuál es la probabilidad de que no esté inscrito al
taller de pintura?
- La probabilidad de que un
estudiante seleccionado al azar no esté inscrito en el taller de pintura
es de:
P(no
pintura) = Número de estudiantes no inscritos en pintura / Total de estudiantes
inscritos = (500 - 100) / 500 = 0.8 = 80%
Por
lo tanto, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar no esté
inscrito en el taller de pintura es del 80%.
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Caso 2 |
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En
una compañía que produce una gran cantidad de tuercas, se ha detectado que el
12% tienen algún defecto. Con base para resolver este problema, se puede modelar la selección de
tuercas como un proceso de Bernoulli, donde cada tuerca puede ser
"buena" o "defectuosa" con una probabilidad del 12% de
ser defectuosa. Además, dado que se seleccionan piezas de manera
independiente, se puede utilizar la distribución binomial para calcular las
probabilidades de interés. Si se seleccionan al azar 15 piezas de
manera independiente a) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas
haya 5 defectuosas? a) Para calcular la probabilidad de que
haya exactamente 5 tuercas defectuosas entre las 15 elegidas, se puede
utilizar la fórmula de la distribución binomial: P(X = 5) = (15 choose 5) * (0.12)^5 *
(0.88)^10 donde (15 choose 5) es el número de formas de elegir 5 elementos de
un conjunto de 15 y se calcula como 15! / (5! * 10!). Evaluando esta expresión, se obtiene: P(X = 5) ≈ 0.1969 Por lo tanto, la probabilidad de que
entre las 15 tuercas elegidas haya exactamente 5 defectuosas es
aproximadamente 0.1969.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas
haya por lo menos 4 defectuosas? b) Para calcular la probabilidad de que
haya por lo menos 4 tuercas defectuosas entre las 15 elegidas, se puede
utilizar la fórmula de la distribución binomial acumulada: P(X >= 4) = 1 - P(X < 4) donde
P(X < 4) es la probabilidad acumulada de que haya menos de 4 tuercas
defectuosas, que se puede calcular como: P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = (15 choose
0) * (0.12)^0 * (0.88)^15 + (15 choose 1) * (0.12)^1 * (0.88)^14 + (15 choose
2) * (0.12)^2 * (0.88)^13 + (15 choose 3) * (0.12)^3 * (0.88)^12 Evaluando estas expresiones, se tiene: P(X < 4) ≈ 0.4992 P(X >= 4) ≈ 1 -
0.4992 ≈ 0.5008 Por lo tanto, la probabilidad de que
entre las 15 tuercas elegidas haya por lo menos 4 defectuosas es
aproximadamente 0.5008.
c) ¿Cuál
es la probabilidad de que entre las 15 piezas elegidas ninguna tenga
defecto? |
c)
Para calcular la probabilidad de que ninguna de las 15 tuercas elegidas tenga
defecto, se puede utilizar la fórmula de la distribución binomial:
P(X
= 0) = (15 choose 0) * (0.12)^0 * (0.88)^15
Evaluando
esta expresión, se tiene:
P(X
= 0) ≈ 0.0681
Por
lo tanto, la probabilidad de que ninguna de las 15 tuercas elegidas tenga
defecto es aproximadamente 0.0681.
NOTA
"Choose"
es una palabra en inglés que significa "escoger" o "elegir".
En el contexto de la probabilidad, "choose" se utiliza en la fórmula
del coeficiente binomial (también conocido como número combinatorio), que es
una medida de la cantidad de formas en que se pueden escoger k elementos de un
conjunto de n elementos, sin importar el orden en que se seleccionen. El
coeficiente binomial se representa por la notación (n choose k) y se puede
calcular utilizando la siguiente fórmula:
(n choose k) = n! / (k! * (n - k)!)
donde
"!" denota el factorial de un número, que es el producto de todos los
enteros positivos desde 1 hasta ese número. Por ejemplo, (5 choose 2)
representa el número de formas en que se pueden escoger 2 elementos de un
conjunto de 5 elementos, y se puede calcular como:
(5
choose 2) = 5! / (2! * (5 - 2)!) = 10
Esto
significa que hay 10 formas diferentes de seleccionar 2 elementos de un
conjunto de 5 elementos, sin importar el orden en que se escojan.
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Caso 3 |
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El
número de llamadas por hora que recibe un despacho jurídico se puede modelar
con una distribución de Poisson con un promedio de 4 llamadas por hora. Con base en el caso, calcula lo siguiente: En
una hora determinada: 1 ¿Cuál es la
probabilidad de que se reciban 7 llamadas? Para resolver este problema, usaremos
la distribución de Poisson. Dado que el promedio de llamadas por hora es de
4, podemos usar λ=4 como parámetro de la distribución. La probabilidad de que se reciban 7
llamadas en una hora determinada está dada por la función de probabilidad de
Poisson: P(X=7) = (e^-λ * λ^7) / 7!, donde X es el número de llamadas en una
hora determinada. Sustituyendo λ=4 y X=7 en la fórmula,
obtenemos: P(X=7) = (e^-4 * 4^7) / 7! = 0.0739 Por lo tanto, la probabilidad de que se
reciban exactamente 7 llamadas en una hora determinada es de 0.0739 o
aproximadamente del 7.39%.
2¿Cuál es la probabilidad de que
lleguen a lo más 5 llamadas? La probabilidad de
que lleguen a lo más 5 llamadas en una hora determinada se puede calcular
sumando las probabilidades de que lleguen 0, 1, 2, 3, 4 o 5 llamadas. P(X ≤ 5) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) +
P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) Para calcular estas probabilidades,
podemos usar la fórmula de la función de probabilidad de Poisson para cada
valor de X y luego sumarlos: P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k! donde k es el número de llamadas. Sustituyendo λ=4 y k=0,1,2,3,4,5 en la
fórmula, tenemos: P(X=0) = (e^-4 * 4^0) / 0! = 0.0183
P(X=1) = (e^-4 * 4^1) / 1! = 0.0733 P(X=2) = (e^-4 * 4^2) / 2! = 0.1465
P(X=3) = (e^-4 * 4^3) / 3! = 0.1953 P(X=4) = (e^-4 * 4^4) / 4! = 0.1953
P(X=5) = (e^-4 * 4^5) / 5! = 0.1644 Por lo tanto, la probabilidad de que
lleguen a lo más 5 llamadas en una hora determinada es: P(X ≤ 5) = 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 +
0.1953 + 0.1953 + 0.1644 = 0.7931 Por lo tanto, la probabilidad de que
lleguen a lo más 5 llamadas es de 0.7931 o aproximadamente del 79.31%.
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2. Una vez calculado lo anterior, responde lo siguiente:
a)¿Qué regla de
probabilidad o tipo de distribución de probabilidad utilizaste para cada caso?
b)Justifica la elección de
la regla de probabilidad o tipo de distribución de probabilidad utilizada en
cada caso.
c)Argumenta en un párrafo
de cinco renglones, la utilidad de la probabilidad en tu vida cotidiana.
La probabilidad es una herramienta matemática fundamental
que tiene una amplia aplicación en nuestra vida cotidiana. Nos permite hacer
estimaciones y tomar decisiones informadas en situaciones inciertas, como por
ejemplo, planificar un viaje en función de las probabilidades climáticas, tomar
decisiones financieras basadas en las posibilidades de éxito o fracaso de una
inversión, evaluar el riesgo de enfermedades en función de factores de riesgo,
entre otros. En definitiva, la probabilidad nos ayuda a comprender y evaluar
situaciones de incertidumbre en nuestra vida diaria, lo que puede mejorar
nuestra toma de decisiones y reducir la incertidumbre en nuestras vidas.
