MÓDULO 17 SEMANA 1 ACTIVIDAD INTEGRADORA 1

Caso 1

La compañía automotriz “Random” clasificó sus 170 vehículos del último embarque como se muestra en la siguiente tabla:   Gama baja Gama media Gama alta Total Importados 52 35 23 110 Nacionales 28 18 14 60 Total 80 53 37 170 Con base en el caso, calcula lo siguiente: Si se selecciona uno de estos autos al azar: ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de un auto nacional? La probabilidad de que se trate de un auto nacional se puede calcular dividiendo el número de autos nacionales entre el total de autos en el embarque: P(auto nacional) = número de autos nacionales / total de autos en el embarque P(auto nacional) = 60 / 170 P(auto nacional) = 0.3529 Por lo tanto, la probabilidad de que se seleccione un auto nacional al azar es de 0.3529 o aproximadamente 35.29%. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de un auto de gama baja o media? La probabilidad de que se trate de un auto de gama baja o media se puede calcular sumando el número de autos de gama baja y gama media y dividiéndolo entre el total de autos en el embarque: P(auto de gama baja o media) = (número de autos de gama baja + número de autos de gama media) / total de autos en el embarque P(auto de gama baja o media) = (80 + 53) / 170 P(auto de gama baja o media) = 0.8588 Por lo tanto, la probabilidad de que se seleccione un auto de gama baja o media al azar es de 0.8588 o aproximadamente 85.88%. Si el auto seleccionado resultó ser importado, ¿cuál es la probabilidad de que sea de gama baja? La probabilidad de que el auto seleccionado sea de gama baja, dado que es importado, se puede calcular utilizando la fórmula de probabilidad condicional:   P(gama baja | importado) = P(gama baja y importado) / P(importado) Donde: P(gama baja y importado) es la probabilidad de que el auto seleccionado sea de gama baja y importado, y P(importado) es la probabilidad de que el auto seleccionado sea importado. Podemos encontrar estos valores en la tabla que se proporciona: P(gama baja y importado) = 52/170 P(importado) = 110/170 Sustituyendo estos valores en la fórmula de probabilidad condicional, obtenemos: P(gama baja | importado) = (52/170) / (110/170) P(gama baja | importado) = 0.4727 Por lo tanto, la probabilidad de que el auto seleccionado sea de gama baja, dado que es importado, es de 0.4727 o aproximadamente 47.27%.

Caso 2

Rebeca trabaja en una gran agencia de viajes y vende paquetes para luna de miel a parejas recién casadas. De acuerdo con su experiencia, ella sabe que la probabilidad de vender un paquete a una pareja es constante e igual a 20%. Si las visitas de las parejas a la agencia de viajes son independientes y ella tiene agendadas 18 citas, Con base en el caso, calcula lo siguiente: a)     ¿Cuál es la probabilidad de que entre las 18 parejas recibidas ninguna adquiera el paquete? La probabilidad de que ninguna de las 18 parejas adquiera el paquete de luna de miel es: P(ninguna pareja adquiere el paquete) = (0.8)^18 = 0.0115 Donde 0.8 es la probabilidad de que una pareja no adquiera el paquete (1 - 0.2) y elevado a la potencia de 18, que representa el número de citas programadas. Por lo tanto, la probabilidad de que ninguna de las 18 parejas adquiera el paquete es de 0.0115 o aproximadamente 1.15%. b)     El jefe de Rebeca le ha prometido una comisión si logra vender 7 paquetes o más, ¿Cuál es la probabilidad de que reciba la comisión? La probabilidad de que Rebeca venda al menos 7 paquetes puede calcularse sumando las probabilidades de vender 7, 8, 9, ..., 17 o 18 paquetes.   Podemos utilizar la distribución binomial para calcular estas probabilidades. La distribución binomial modela el número de éxitos (en este caso, vender un paquete) en un número fijo de ensayos independientes (en este caso, las citas programadas). La distribución binomial tiene los siguientes parámetros:   - n: el número de ensayos - p: la probabilidad de éxito en cada ensayo   En este caso, n = 18 y p = 0.2, ya que cada cita programada tiene una probabilidad del 20% de resultar en una venta.   La probabilidad de que Rebeca venda al menos 7 paquetes puede calcularse como:   P(X ≥ 7) = 1 - P(X < 7)   Donde X es la variable aleatoria que representa el número de paquetes vendidos. P(X < 7) es la probabilidad acumulada de la distribución binomial para X < 7, que podemos calcular utilizando una tabla de distribución binomial o una calculadora estadística.   Utilizando una calculadora estadística, obtenemos:   P(X < 7) = 0.9879Por lo tanto:   P(X ≥ 7) = 1 - P(X < 7) = 1 - 0.9879 = 0.0121   La probabilidad de que Rebeca venda al menos 7 paquetes y reciba la comisión es de 0.0121 o aproximadamente 1.21%. c)     ¿Cuál es el valor esperado del número de parejas que adquirirán el paquete? (Interpreta el resultado) El valor esperado del número de parejas que adquirirán el paquete se puede calcular utilizando la fórmula:   E(X) = n * p   Donde X es la variable aleatoria que representa el número de parejas que adquirirán el paquete, n es el número de citas programadas y p es la probabilidad de que una pareja adquiera el paquete, que en este caso es del 20% o 0.2.   Sustituyendo los valores, obtenemos:   E(X) = 18 * 0.2 = 3.6   El valor esperado del número de parejas que adquirirán el paquete es de 3.6 parejas.   Interpretación: El valor esperado de 3.6 parejas significa que, en promedio, se espera que 3 o 4 parejas adquieran el paquete de luna de miel. Sin embargo, este valor no garantiza que exactamente 3.6 parejas adquieran el paquete en cada conjunto de 18 parejas, ya que la distribución sigue siendo binomial y puede haber variaciones en la cantidad real de parejas que adquieran el paquete.

Caso 3

Ignacio trabaja sus tierras en el estado de Michoacán sembrando diversas plantas. Él siembra plantas que provienen de semillas que arroja al azar en su campo, de las cuales crecen en promedio 4 por metro cuadrado siguiendo una distribución de Poisson.  Con base en el caso, calcula lo siguiente: Si un trabajador selecciona al azar una de las zonas de un metro cuadrado en las que siembra Ignacio, ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más 3 plantas sembradas por Ignacio? La distribución de Poisson se utiliza para modelar eventos raros que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio determinado. En este caso, la cantidad de plantas que crecen en un metro cuadrado sigue una distribución de Poisson con un parámetro lambda de 4, lo que significa que en promedio crecen 4 plantas por metro cuadrado.   La probabilidad de que haya a lo más 3 plantas sembradas por Ignacio se puede calcular sumando las probabilidades de que crezcan 0, 1, 2 o 3 plantas en un metro cuadrado. Podemos utilizar la fórmula de la distribución de Poisson para calcular estas probabilidades:   P(X ≤ 3) = Σ [ (e^-λ * λ^x) / x! ] para x = 0, 1, 2, 3   Donde X es la variable aleatoria que representa el número de plantas que crecen en un metro cuadrado, λ es el parámetro de la distribución, que en este caso es 4, y x toma los valores de 0, 1, 2 y 3.   Sustituyendo los valores, obtenemos:   P(X ≤ 3) = [(e^-4 * 4^0) / 0!] + [(e^-4 * 4^1)/ 1!] + [(e^-4 * 4^2) / 2!] + [(e^-4 * 4^3) / 3!]   P(X ≤ 3) = [(1 * 1) / 1] + [(0.0183 * 4) / 1] + [(0.0733 * 16) / 2] + [(0.1465 * 64) / 6]   P(X ≤ 3) = 0.2381   Por lo tanto, la probabilidad de que haya a lo más 3 plantas sembradas por Ignacio en un metro cuadrado es de 0.2381 o aproximadamente 23.81%. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna planta sembrada por Ignacio?  La probabilidad de que no haya ninguna planta sembrada por Ignacio en un metro cuadrado se puede calcular utilizando la fórmula de la distribución de Poisson con λ = 4 y x = 0:   P(X = 0) = (e^-λ * λ^x) / x! P(X = 0) = (e^-4 * 4^0) / 0! P(X = 0) = e^-4   P(X = 0) = 0.0183   Por lo tanto, la probabilidad de que no haya ninguna planta sembrada por Ignacio en un metro cuadrado es de 0.0183 o aproximadamente 1.83%.